家庭教師必見!理系大学生でも意外と知らない対数関数の公式

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こんにちは!HELLO!您好!привет там ! 안녕하세요 !Hola !

最近、昔から仲の良かった後輩リケジョのリエちゃんから数学の相談を受けました。

リエちゃんは僕と出身高校が同じで、今は他大学で勉強しながら家庭教師をしています。

バリバリの理系女子で当時学年で物理と化学においては彼女の右に出るものはいなかったと聞きます。

そんな女の子から突然連絡が来て驚き、正直困惑しました。

 

リエちゃん

こんばんは!久しぶりー元気してるー?

ぼく

お!久しぶりだね。急にどうなさったー?

リエちゃん

家庭教師してるって前話したでしょ?

今教えてる子に数Ⅲ聞かれたんだけど解けない問題がある。

一緒に考えて欲しいー。

ぼく

なるほど。どんなの?とりあえず写真送って。

リエちゃん

ありがとう!ちょっと待っててー!

ぼく

かわいいかよ。。。。マジ卍。

 

そして数分後送られてきた問題がこれです。

\(x\)は実数、\(n\)は自然数、\(a\)は正の定数である。このとき以下の極限値を求めよ。

$$ \lim_{ x \to \infty } {n( \sqrt[n]{a} -1) }$$

 

ぼく

考えたいから時間ちょうだい!解けたら後で連絡する。

リエちゃん

はーーい!

 

「速攻解けそうだな」最初はそう思っていました。

高校の課題で出された問題だと聞いて高をくくっていました。

 

がしかし正直なところ実際にやってみると難しかったです。

ヒラメキが必要で予想以上に時間がかかり気が付けば20分が経過していました。

大学の数学系専門科目の試験などで極限計算として出題されてもおかしくないので、皆さんも少し考えてみてください。



僕は以下の公式を使うことを前提に考えました。

$$ \lim_{ x \to 0} \frac{ e^x – 1 }{x} = 1 $$

 

ですが、どう変形しても上手く公式が使える理想の形に変形できず、ずっと悩んでいました。

$$\lim_{ n \to \infty } {n( \sqrt[n]{a} -1) } = \lim_{ n \to \infty } \frac{ a^{ \frac{1}{n}} – 1 }{ \frac{1}{n} } $$

上記の変形で何となくカタチは見えますが、底が  \(e\) ではなく \(a\) であるため公式が適応できません。

 

ちょうど飽きがきたとき、ようやく解法を思いつきました。

ポイントは以下の2つです。

  •  カタマリを0とみなす
  •  対数関数の変形公式を利用する

対数関数の変形公式とは以下の式を指します。

$$ a^{ \log{a}{M} } = M $$

 

\( a^p = M \) のとき、\( p = \log{a}{M} \) より、この式を \( a^p \) に代入することからこの公式を得ます。

この公式は忘れられがちで、なおかつ地味に有効な手段ですので覚えて損はないと思います。

 

上記のポイント2つを踏まえると

\begin{align*}
\lim_{ n \to \infty } {n( \sqrt[n]{a} -1) } & = \lim_{ n \to \infty } \frac{ a^{ \frac{1}{n}} – 1 }{ \frac{1}{n} } \\
& = \lim_{ n \to \infty } \frac{ e^{ \log{}{a^{\frac{1}{n}}}} – 1 }{ \frac{1}{n} } \\
& = \lim_{ n \to \infty } \frac{ e^{ \frac{\log{}{a}}{n} } – 1 }{ \frac{1}{n} } \\
& = \lim_{ n \to \infty } \frac{ e^{ \frac{\log{}{a}}{n} } – 1 }{ \frac{\log{}{a}}{n}} \cdot \log{}{a} \\
& = 1 \cdot \log{}{a} \\
\end{align*}

こんな感じか?

したがって、答えは \( \log{a} \) となります。

のはず。

あ。自然対数の底 \(e\) は省略しています。

 

無事解答できたので、早速リエちゃんに報告することにしました。

ぼく

リエ氏!解けたよ!

答えは \( \log{}{a} \) ☆

ぼく

どやっ☆

数分後。。。。。

リエちゃん

やっぱりー!わたしも解けたよ!

 

って解けたんかーーいっ!

解せぬ。

 

 

以上リケジョはやっぱりかわいいの回でした。

家庭教師をしている方はくれぐれも教え子による家庭教師殺しの問題には用心しましょう。

今思えばこの問題は某河合塾の医学部受験コースの基本問題とかで掲載されている問題ですね。

マジ卍。

ではまた!

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ABOUT ME!

yuk!

国立大学情報学科に通う大学生です。天然パーマと戦いながらすーぱーエンジニアを目指し技術とセンスを磨いています。 室内に引きこもりがちでヘビメタと猫と甘いものが救いのキーボードカチャカチャ生活ですが、最近はブログで文章を書くことが楽しいです。モットーは「 Who dares wins. = 人生是一箇,活殺全在我。」好きな言葉は「マジ卍」。