野々村を思い出す微分定義

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こんにちは!HELLO!您好!привет там ! 안녕하세요 !Hola !

僕は LaTex が好きでときどき無性に書きたくなることがあります。

知らない方のために簡単に説明すると LaTex とは数式を始めとする様々な特殊記号を記述しながら文章を作成する組版ソフトです。

学術論文を書く際などに使われます。

出力する記号や数式ごとに決められた書き方があり記述方法を知らなければ書くことができないのでちょっとしたプログラミング言語チックなソフトとなっています。

ただ慣れると超便利で数式を書くこと自体が楽しくなります。

それと初見では必ず「ラテックス」と読んでしまうことで有名です。

LaTex は「ラテフ」と読みます。読み方は色々あり人によって読み方は異なりますが。

LaTex は情報学科であれば学部1年次辺りで必ず習うと思うのですがハマる人はハマります。

何でもいいから数式が書きたいい。公式が書きたいい。そんな気持ちになります。

今そんな気持ちです。

でこうした突如訪れる衝動を抑えるために家庭教師のバイトで教える勉強ネタやお話をメモするために生まれたのが「家庭教師のメモ」カテゴリーです。

大学受験期に解いた懐かしい問題や良問を思い出した際にはこのカテゴリーにチラ裏っていこうと思います。

誰得コーナーになるかもしれませんが興味のある方はお付き合いください。

あ。中学生 & 高校生の方からの自由なリクエストをお待ちしていますのでお気軽に。

ただこのブログではプラグインの形で LaTex を利用しているためスマートフォンからの閲覧の際読み込みが遅くなり動きがヌルヌルする可能性がありますのでご了承ください。

 

とりあえず本日の内容は「関数の微分可能性と連続性」です。

僕が高校生のころはこの辺りのお話は結構ふわふわしていて「別に試験には出題されないし無視で大丈夫」みたいな感覚でいたせいで期末試験やセンター試験で不意に出題されて痛い目をみた覚えがあります。

そもそもすぐ後の微分計算がメインでこの辺りの定義付けに関してはあまり注目されないような気がします。

 

ですが、関数を考えるうえで重要な定義や基礎知識であるため抑えておいた方が良いと思います。

大学に入学して積分学を勉強すると結構大切な概念であることに気が付くのでお楽しみに。

今日はその表面をほんの少しだけ再確認します。

 

微分可能性と連続性

連続

関数 \( f(x) \) が \( x = a \) において連続である場合、\( a \) にグラフの右側から限りなく近づけた右側極限と \( a \) にグラフの左側から限りなく近づけた左側極限が一致します。

\( f(x) \) が \( x = a \) で連続ならば、$$  \lim_{ x \to a} f(x) = f(a) $$

また、右側極限と左側極限に関して、

$$ \lim_{ x \to {a +0} } f(x) = \lim_{ x \to {a -0} } f(x) = \alpha \Longleftrightarrow \lim_{ x \to a } f(x) = \alpha $$

が成り立ちます。

 

微分可能

関数 \(f(x)\) が \(x = a \) において微分可能ならば、\(f(x)\) は \( x = a \) において連続かつ \(f ^\prime (a)\) が存在します。

このとき \(f ^\prime (a)\) を微分係数といいます。

微分係数を求める公式は以下になります。

 

$$ f ^\prime (a) = \lim_{ x \to a } \frac{ f(x)  \space –  f(a) }{ x \space- a } = \lim_{ h \to 0 } \frac{ f(a + h)  \space –  f(a) }{h} $$

 

それでは問題を通して定義の確認を行いましょう。

 

微分係数の定義を利用する問題

 

\(a\) , \( b \) , \( c \) を正の定数として以下の極限値を求めよ。

$$ \lim_{ x \to 0 } \Biggl( \frac{ a^x + b^x + c^x }{3} \Biggr) ^ { \frac{1}{x} } $$

 

頭の体操になるパズルチックな問題で、大学1年生の定期試験で頻出の問題です。

この問題はヒラメキが必要なうえに配点が極めて低かったため正答率が低く、

僕の学科で解答できたのは野々村君と僕だけでした。

 

まず野々村について説明します。

野々村とは大学入学当時に僕がトイレに駆け込んで

「え。うそ。あれ。トイレットペーパーないじゃん。オワタ」とか言ってる時に隣のトイレで同じく用を足していた同志です。

「トイレットペーパーっすか?こっちにいっぱい予備ありますよ?」とペーパーを投げてくれたジェントルマンです。

感謝してもしきれない野々村とはそれから仲良くなりました。

その彼に当時教えてもらった超スマートな解法がこれです。

 

\( a > 0, b > 0, c > 0 \) より

$$ \frac{ a^x + b^x + c^x }{3} > 0 , \hspace{ 10pt } \Biggl( \frac{ a^x + b^x + c^x }{3} \Biggr) ^ { \frac{1}{x} } > 0 $$

が成り立つ。

このとき、自然対数をとると

$$  \lim_{ x \to 0 } \log{}{ \Biggl( \frac{ a^x + b^x + c^x }{3} \Biggr) ^ { \frac{1}{x} } }  = \lim_{ x \to 0 } \frac{ \log{}{ \frac{ a^x + b^x + c^x }{3} }}{x} \tag{1} $$

が成り立つ。

 

ここで \( f(x) = \) \(  \log{}{ \frac{ a^x + b^x + c^x }{3} } \) とすると、\( f(0) = \) \(  \log{}{ \frac{ 1 + 1 + 1 }{3} } = \log{}{1} = 0 \) であることから

$$ (1) = \lim_{ x \to 0 } \frac{ f(x) – f(0) }{ x – 0 } = \lim_{ x \to 0 } \frac{ f(x) – 0 }{ x – 0 } = f ^\prime (0) $$

である。

 

次に、\( f(x) = \log {}{ ( a^x + b^x + c^x ) } \space – \log{}{3} \) より

$$ f^ \prime (x) = \frac{ a^x \log{}{a} + b^x \log{}{b} + c^x \log{}{c} }{ a^x + b^x + c^x } $$

であるから、

$$ f^ \prime (0) = \frac{ \log{}{a} + \log{}{b} + \log{}{c} }{ 1 + 1 + 1 } = \frac{ \log{}{a} + \log{}{b} + \log{}{c} }{3} = \log{}{ \sqrt[3]{abc}}$$

したがって、

$$ \lim_{ x \to 0 } \log{}{ \Biggl( \frac{ a^x + b^x + c^x }{3} \Biggr) ^ { \frac{1}{x} } } = \log{}{ \sqrt[3]{abc}} $$

が成り立ち、

$$ \lim_{ x \to 0 } \Biggl( \frac{ a^x + b^x + c^x }{3} \Biggr) ^ { \frac{1}{x} } = \sqrt[3]{abc} $$

である。

以上より、求める極限値は \( \sqrt[3]{abc} \)

 

微分定義をフル活用しながら結構頭を使う面白い問題です。

こういうパズルチックな問題は好きで色々知っていいるので気が向いたときに LaTex の復習がてら書いていこうと思います

ということで以上「野々村と微分定義」でした。

どんなに急いでいてもトイレットペーパーが補充されていることは確認しましょう。

ではまた!

 

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ABOUT ME!

yuk!

国立大学情報学科に通う大学生です。天然パーマと戦いながらすーぱーエンジニアを目指し技術とセンスを磨いています。 室内に引きこもりがちでヘビメタと猫と甘いものが救いのキーボードカチャカチャ生活ですが、最近はブログで文章を書くことが楽しいです。モットーは「 Who dares wins. = 人生是一箇,活殺全在我。」好きな言葉は「マジ卍」。